北航理论力学 动力学2B

发布时间:2021-07-31 07:19:33

上次课的基本内容
动量定理矢量式
n dp (e) ? ? Fi (e) ? FR dt i ?1

将质点系质心及其速度 的计算公式推广到刚体系。
rc ?
i i

质心矢径

rc ?

? mi ri
i ?1

n

? mCi rCi
i ?1

n

m

质心速度

vC ? r ?c ?
n

?mv
i ?1

n

m ? mCi vCi
i ?1 n

m

vc ?
n

m

系统动量

p ? ? mi v i ? mv C
i ?1

p ? ? mCi v Ci ? mvC
i ?1

1

§2-1、动量定理
例题:两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接,每个杆的质量为m ,长为

L,在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u,两个杆的角速度为ω(转向如
图),求该瞬时系统质心的速度和系统的动量。
y’

u ve
B C2 A C1

va

vc ?

? mCi vCi
i ?1

n

m

动点:C1,动系:*动坐标系Ax’y’ x’

ω
系统动量

质心速度 v C ? ? u ?

? ?

L ? ? ? j' 2 ?

vr ω

D

va ? ve ? v r
y ': vC1a ? ve ? vr ? u ? ? L 2 L 2

p ? 2mvC

同理: vC2a ? ve ? vr ? u ? ?

2

§2-1、动量定理

质心运动定理
系统动量

p ? ? mi v i ? mv C
i ?1 n

n

矢量式

( e) mac ? FR

? Fi

(e)

? ? ? mi v ?i ? mv ?C ? p
i ?1

质心加速度

aC ? v ?c ?

? mi ai
i ?1

n

投影式

m

x ?c ? ? Fx( e) ?m? ? ( e) m y ? F ? ? ? ? c y ? ( e) m z ? F ? ? ? ? c z

守恒情况

FR( e) ? 0

? vc ? vc0 ? vcx ? vcx 0
3

?F

x

?0

§2-1、动量定理
例题:已知:m1 , m2 , R, vr 为常量,求:板的速度、加速度、

地面约束力和系统质心加速度。初始时 ? ? 0 ,板静止。

vr
R



?
m2 g

m1 g
4

§2-1、动量定理
vr
R


?
m2 g

v1

解:1、求板的速度和加速度 取板、甲虫为研究对象 受力分析:
( e) F ? x ?0

y



a1

系统动量: p ? m1v1 ? m2v 2

p ? m1v1 ? m2 (v1 ? vr ) px ? m1v1 ? m2 (v1 ? vr sin ? ) ? px 0

x

m2 vr sin ? 当:t = 0 时,? 0 ? 0, v1 ? 0 px 0 ? 0 v1 ? m1 ? m2

m1 g F N

? cos ? dv1 m2vr? a1 ? ? dt m1 ? m2

? vr ? R?

m2vr2 cos ? a1 ? (m1 ? m2 ) R

5

§2-1、动量定理
vr
2、求地面约束力和质心加速度

R

ar

v1

?
m2 g

a1

p ? m1v1 ? m2 (v1 ? vr ) n dp y ( e) p y ? m2vr cos ? ? ? Fiy dt i ?1 ? ? FN ? m1 g ? m2 g m2vr (? sin ? )?

m1 g F N
方法一: aC ? ? r? c ?

?ma
i ?1

n

m2vr2 sin ? FN ? (m1 ? m2 ) g ? R

i i

m

m1a1 ? m2a2 m1a1 ? m2 (a1 ? ar ) ? ? m1 ? m2 m1 ? m2
( e) 已知 FR ,可求质心加速度 a c

( e) 方法二: ? mac ? FR

6

§2-1、动量定理
例题5:已知 m1 , m2 , R, ? ? ?t , f 。求:轴承A的约束力。

F1
m1 g

F2
aC
1

解:受力分析与运动分析
( e) ? mac ? FR

m1aC ? m2aC ? FA ? F1 ? F2 ? (m1 ? m2 ) g
1 2

?
FAx A
y

aC

R
2

M

aC ? aC sin ? ,
1 2

aC ? ? 2 R
2

y : ? m1aC ? m2aC sin ? ? FAy ? (m1 ? m2 ) g
1 2

?
m2 g

FAy ? (m1 ? m2 ) g ? m1aC ? m2 aC sin ?
1 2

? (m1 ? m2 ) g ? (m1 ? m2 )? 2 R sin ?
7

FAy

x

问题: 如何求轴承A水*方向的约束力?

§2-1、动量定理
取圆盘为研究对象:受力分析

m2aC ? FAx ? FAy ? F ? FN ? m2 g
2

FN

y : ? m2 aC sin ? ? FAy ? FN
2

F
R

FN ? m1 g ? m1? 2 R sin ?
F ? f FN

M

?
FAx A
y

aC

2

?
m2 g

x : ? m2 aC cos ? ? FAx ? F
2

FAx ? ? F ? m2? R cos ?
2

FAy

x
8

问题: 圆盘角速度满足什么关系时,在运动过程中顶杆不脱离圆盘?

§2-1、动量定理

二、变质量质点运动微分方程

9

§2-1、动量定理
研究:有质量并入或分出 时,质点的动力学问题。 应用动量定理的积分形式 x

t 时刻
z

?m

t ? ?t 时刻

u
o
1

m
y

v

v ? ?v
m ? ?m

pt ? pt ? ? I
2 1

n

i ?1

(e) i

? ? F dt
(e) R t1

t2

pt ? pt ? mv ? ?mu, pt ? pt ? ?t ? (m ? ?m)(v ? ?v )
2

pt ? ?t ? pt ? (m ? ?m)(v ? ?v ) ? mv ? ?mu ? FR( e ) (t * )?t , t * ? (t , t ? ?t )
(e) * ?m(v ? u) ? m?v ? ?m?v ? FR (t )?t

?m ?v ?v (e) * (v ? u) ? m ? ?m ? FR (t ) ?t ?t ?t

10

§2-1、动量定理
?m ?v ?v (e) * (v ? u) ? m ? ?m ? FR (t ) ?t ?t ?t
? m ? v 当 ?t ? 0 : 存在 , ?t ?t
dv dm (e) m ? FR (t ) ? (u ? v ) dt dt
vr ? u ? v

t 时刻
z

?m

u
o

m
y

v

x

dv dm (e) m ? FR ? vr dt dt
11

§2-1、动量定理
例:设火箭初始质量和速度分别为 m0 , v0 , 喷出燃气的相对 速度为 vr(常量),燃烧时间为 ? ,燃烧后火箭的质量为 m?

求火箭燃烧完瞬时的速度 v? (不计空气阻力,重力为常力)。

v
y

解: m

mg
O

vr

x

dv dm ? mg ? vr vr : 2 ~ 3km/s dt dt m0 dv dm ? 10 y: m ? ? mg ? (? vr ) m? dt dt dm ln 10 ? 2.3 dv ? ? gdt ? vr m m0 v? ? v0 ? g? ? vr ln m?

用一级火箭不可能达到第一宇宙速度 12

§2-1、动量定理
例:设长度密度为 ? 的链条堆放在地面上,其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速

v 提升,求链条被提起的长度为y时力

F的大小(设未被提起的链条对提起部分没有作用力)。

F
v
y

解:提起部分的链条为研究对象

g

dv dm m ? F ? mg ? vr dt dt dm y : 0 ? F ? mg ? (? vr ) dt
0 ? F ? ?yg ? ?v 2 F ? ?yg ? ?v 2

m ? ?y, vr ? v

v

13

§2-1、动量定理
例:装料箱的质量为 m0 在水*常力 F 的作用下沿水*滑道运

动,初始速度为 v0 ,箱体与滑道的动滑动摩擦因数为 f ,沙石一
速度u铅垂落入箱内,单位时间装入箱内的石料为 q(kg/s) ,装 料时间为T。求箱体在装料过程中的速度与时间的关系式。 u

F

v0

14

§2-1、动量定理
u F
y x

解:受力分析与运动分析
m dv dm ? F ? mg ? FN ? F f ? (u ? v ) dt dt

v mg FN Ff

? Ff ? FN f

dm ? ? 由(2)得:F f ? f ? mg ? u ? d t ? ? dv dm dm ? ? m ? v ? F ? f ? mg ? u ? dt dt d t ? ?
m ? m0 ? qt

dv dm x : m ? F ? Ff ? ( ?v ) dt dt dm y : 0 ? ?mg ? FN ? (?u ) dt
将其代入(1)得:

(1) (2)

d ( mv ) ? F ? f ?( m0 ? qt ) g ? uq ? dt
15

§2-1、动量定理

16

§2-1、动量定理
maC ? FN 1 ? F1 ? mg ? FN 2 ? F2

x : m? x ?C ? F1 ? F2

y

FN1 F1

FN2
F2 mg

x

17


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