北航理论力学 动力学3A

发布时间:2021-07-31 06:13:11

第三章 刚体动力学(I)
?刚体*面运动的运动学 ?刚体*面运动的动力学 ?质点或刚体间碰撞的动力学问题
1

问题的引出
研究内容:*面运动刚体的运动学与动力学问题

车辆行驶中的运动学与动力学问题
2

问题的引出
观察:车轮作什么运动?其运动有什么特点?

3

问题的引出
A O ? B ?

连杆AB作什么运动?运动有什么特点?

?刚体的*面运动(plane motion of rigid bodies): 刚体在运动过程中,其上任意一点到某一固定*面的 距离保持不变。
4

§3-1、刚体*面运动的运动学
问题:如果汽车沿直 线行驶,车轮作什么 运动? *动动系:车身 研究对象:车轮

绝对运动: *面运动 相对运动: 定轴转动
牵连运动: 直线*移

问题:用什么方法研究刚体的*面运动? 刚体的*面运动是刚体的*移(牵连运动)与刚体 的定轴转动(相对运动)的合成。
5

§3-1、刚体*面运动的运动学 刚体作*面运动,其上任意一点到oxy面的距离保持不变

( xM , yM , zM )

z
M

x A ? xM y A ? yM
把研究刚体 的*面运动转化为

o
A

y
( xA , y A )

研究*面图形S 的

运动。 S
6

x

§3-1、刚体*面运动的运动学
把研究刚体的*面运动转化为研究*面图形的运动。

7

§3-1、刚体*面运动的运动学

一、刚体*面运动的运动方程
如何确定*面图形的位置
点A、B是*面图形上的任意两点

y
A
?
?

B

?

? ? f (t )
x A ? f1 (t ) y A ? f 2 (t )
A称为基点

o
刚体的角速度、角加 速度与基点的选取无关。

x

刚体的角速度和角加速度

? ? f ' (t ) ? ?? ?? ? f " (t ) ? ??

? ?? ? ?

? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?
8

? ? const.

§3-1、刚体*面运动的运动学

基点选取得不同,基
点的运动方程则不同 但绕不同基点转动的角 速度和角加速度完全相同。

二、*面图形上各点的速度
分析*面运动车轮上某点的运动:
9

§3-1、刚体*面运动的运动学 1、基点法 Ax’y’为*移动系,B为动点

va ? ve ? v r
va ? v B , ve ? v A , v r ? ? ? rAB ? v BA

y

?

y'

v BA
B

vB ? B vA x'
x

v B ? v A ? v BA
2、速度投影法

A r0

?A

vA

v B ? r0 ? v A ? r0 ? v BA ? r0 vB cos ? B ? vA cos ? A

o

?vB ?AB ? ?vA ?AB
10

§3-1、刚体*面运动的运动学

例:已知OA杆的角速度?,求图示瞬时滑块B的速度和 AB杆的角速度。 OA ? R, ? ? 600 , AB ? OA

vA

A ? AB

?
O

解:研究AB杆,取A为基点

?

vB v A ?

B

v B ? v A ? v BA
上式在AB杆上投影

v BA
R? 2 3R? vB ? ? cos ? 3 vBA 1 ? AB ? ? ? AB 3

vB cos ? ? v A ? R?
上式在OA杆上投影

vB sin ? ? vBA vBA ? AB ? ? AB
11

§3-1、刚体*面运动的运动学

例:已知图示机构中两个滑块的速度方向,试确定图示瞬 时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。v A ? AC
C vC

A

vA

? AC

? BC

v M ? v P ? v PM

vB ?

B

?v ?

M PM

? ?v P ?PM

12

§3-1、刚体*面运动的运动学

观察一种现象
离车轮与地面的接触 处*的钢丝看得较清楚, 而离得远的钢丝则模糊不清, 甚至看不见。

如何解释这种现象?
13

§3-1、刚体*面运动的运动学
?

基点法

v B ? v A ? v BA

(vBA ? AB ? ? )

特点:既能求速度,也能求? ,但计算相对比较繁琐。
?

速度投影法

?v ?
B

AB

? ?v A ?AB

vB vBA
B

特点:计算简便,但无法求出图形的角速度? 。

vA vA

若选取速度为零的点作为基点, 则求解速度问题的计算会大大简化, 同时也能求出图形的角速度。

S

A

?

A为基点
14

§3-1、刚体*面运动的运动学 3、速度瞬心法 只要 ? ? 0 ,任一瞬时*面图形上都 定理: 唯一存在一个速度等于零的点。 证明:(存在性) 过点A作直线 LL? ? v 。 A 选A为基点,则LL’上任一点M的速度

L?

A

vMA

M

v M ? v A ? v MA
且当点M在AL上时,其速度大小可表示为

vA vA

vM ? v A ? vMA ? v A ? AM ? ?

S

L ?

P

因此,在AL上必存在一点P ,其速度为零。
15

§3-1、刚体*面运动的运动学

? vP ? v A ? AP ? ? ? 0
唯一性自己证明。

vA ? AP ? ?
vMA

A
M

特点:速度为零的P点一定在过点A 速度的垂线上。

vA vA

?速度瞬心(intant center for velocities)

某瞬时,*面图形上速度为零的点。
唯一性: 在某一瞬时,图形只有一个速度瞬心。 瞬时性: 在不同瞬时,速度瞬心在*面图形 上的位置不同。

S

L ?

P

?
车轮在地面上纯滚动 16

§3-1、刚体*面运动的运动学 选取速度瞬心P为基点,则*面 图形上任一点B的速度 等于该点随图 形绕速度瞬心转动的速度。

B

vB

vB ? vP ? vBP ? vBP
大小: vB ? BP ? ? 方向:?BP,指向与? 转向相一致。

vA
A
C

S ?

P

vC

由此可见,只要已知在某一瞬时*面图形速度瞬心的位置 和*面图形的角速度,就可求出该瞬时图形上各点的速度。

——速度瞬心法
17

§3-1、刚体*面运动的运动学

[思考]

过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何特点? —与图形绕定轴转动时的速度分布类似。

就速度分布而言,* 面图形的运动可视为绕该

P

瞬时的速度瞬心作瞬时转

S

?

动。
18

§3-1、刚体*面运动的运动学 例:曲柄OA以匀角速度? 转动。求当? =60? 时,滑块B的速度及连杆AB的角速度。 解:研究连杆AB:

AB ? 3R OA ? R

P

? v A ? ?R ? AP ? ? AB ? R? ? ? AB ? 3R ? 3 3
2 3 vB ? BP ? ? AB ? R? 3

vA

A

?
O

?

B

[讨论]

vB
19

(1)速度瞬心可以位于*面运动刚体之上,也可以位于其延展体上。

§3-1、刚体*面运动的运动学

(2)当? =90? 时,滑块B的速度及连 杆AB的角速度为多少?
研究连杆AB:该瞬时,连杆AB的 速度瞬心P在无穷远处,? AB ? 0 A为基点,杆AB上任一点M的速度

vA

A

P?
vM
M

?
O

B

v M ? v A ? v MA ? v A

vB

该瞬时AB上各点的速度相等。各点加速度是否相等? 该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作*移时的一样。 故图形在该瞬时的运动称为瞬时*移。
20

§3-1、刚体*面运动的运动学 4、确定速度瞬心位置的方法 已知A、B两点的速度方向, 试确定速度瞬心的位置。

vA
A

B

vB vA vB
A

A

vA vB vB

A

vA
B

A

vA vB

B

B B
(c)

瞬时*移

(a)

(b)

(d)

21

§3-1、刚体*面运动的运动学 例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮,其半径为R,轮心的速度为u, 求轮上A、B、C、D的速度。 解:车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。
C

vC
vO
D

u 车轮的角速度为 ? ? R

v A ? vP ? 0

vB
B
O

vD

vB ? 2u,

vC ? 2u,

vD ? 2vO
A( P )

?

速度瞬心法的特点: (1)计算简便;

(2)直观解了*面运动图形上各点的速度分布。
22

§3-1、刚体*面运动的运动学

P
23

§3-1、刚体*面运动的运动学

?1

v1

v3

v4

?2

v2

问题:拐弯时两个前轮

的转角是否相同?
24

§3-1、刚体*面运动的运动学 解:1、研究AB杆, 确定AB杆的速度瞬心 AB杆的速度瞬心在Cv点

例:已知AB杆A点的速度, 求杆B端的速度、杆的角速 度、杆中点D的速度和圆盘 的角速度。

? AB

vA
A

vD vB

? AB
CV

vA vA ? ? ACV L sin ?

vB ? BCV ? AB

vD ? DCV ? AB

? D

2、研究圆盘B,确定其速度瞬心 圆盘B的速度瞬心在地面接触点 B

vB v A ?B ? ? cot ? R R

25


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