北航理论力学 动力学2E

发布时间:2021-07-31 07:09:16

问题的引出
质点系由两个相同的小齿轮和两个相同的大齿轮构成,
每个齿轮视为均质圆盘,在力偶 M 作用下由静止开始运动。

问题: 用系统的动

M

量和动量矩均无 法反映系统的运

动状态。
1

问题的引出
FB

FA

已知:两个均质滑轮和

两个物块的质量参数和
几何参数,绳索相对滑 轮无滑动。如何求两个

a

2a

物块的加速度。

mac ? F

( e) R

dLo n ? ? M o ( Fi (e) ) dt i ?1

求解方法比较繁琐
2

§2-3、动能定理 一、质点系的动能
1、质点系的动能
2 T ? ?1 m v i i 2 i ?1 n

3、柯尼希定理

设动参考系Cx’y’z’*移

z
mi

z'

v ri
C

y'

2、 *移刚体和定 轴转动刚体的动能 *移 T ? mv
1 2 2

x o

y
n

x'

vC

v ia ? vC ? v ir
mi ? m, ? mi vir ? mvcr ? 0 ? i ?1 i ?1
2
2 2 1 T?1 mv ? m v ? 2 i ir C 2 i ?1 n n

定轴转动 T ? J?
1 2

3

§2-3、动能定理
例:半径为R,质量为m车轮视为均质圆盘,在地面上滚动, 其质心的速度为 vC,角速度为 ? 。求圆盘的动能。

y o

?
c
R

y'
vC

解:取*移动系cx’y’

x'
x

2 1 T?1 mv ? m v ? 2 i ir 2 2 C i ?1

n

1 2 1 T ? mvC ? J C? 2 2 2 1 2 1 ? mvC ? mR 2? 2 2 4

4

§2-3、动能定理

二、质点系的动能定理
质点系中的每个质点有

mi dvi ? Fi ( e)dt ? Fi (i)dt mi vi ? dvi ? Fi ( e) ? vi dt ? Fi (i) ? vi dt 1 d( mi vi2 ) ? Fi ( e) ? dri ? Fi (i) ? dri 2

微分形式 dT ?

( e) ( i) F ? d r ? F ? i i ? i ? dri ( e) ( i) W ? W ? 1? 2 ? 1? 2

动能定理建 立了作功的力与 质点系位置和速 度间的关系。

积分形式 T2 ? T1 ?

三、机械能守恒定理
条件:惯性参考系;做功的力为有势力

T ?U ? E

5

§2-3、动能定理
m1 ? m, m2 ? 2m, R ? 2r , J O ? 2mr 2 , k ,初 例:系统如图所示,
始时静止,弹簧为原长 l0。求弹簧伸长s时,杆的速度和加速度。

l0
k

s F

?

r

o
Jo

m1

解:1、求杆的速度

T1 ? 0

R

v

?R ? v
m2 g

1 1 2 T2 ? J o? ? m2v 2 ? 5mr 2? 2 2 2 1 2 W1?2 ? m2 g 2s ? ks 2 1 2 ? 4mgs ? ks 2 ? T2 ? T1 ? W1?2

1 2 5mr ? ? 4mgs ? ks 2
2 2

?

6

§2-3、动能定理
2、求杆的加速度

l0
k

s F

?

r

o
Jo

m1

R

1 2 5mr ? ? 4mgs ? ks 2
2 2

10mr 2?? ? ? 4mgs ? ? kss ?

?r ? s ?
v
m2 g

10mr? ? ? 4mg ? ks

? ?R ? a
4mg ? ks a ? R? ?? 5m
7

§2-3、动能定理
J , R, m, 求圆环的角速度 例:已知:
A

vr0

和角加速度(表示成 ? 的函数)。 初始时: ? ? ?0 , vr ? vr0 ,? ? 0, 1、受力分析和运动分析 2、有哪些未知量

R ?

?
B

3、要求哪些未知量
4、通过什么方法求要求的未知量

8

§2-3、动能定理
解:取圆环和小球为研究对象, 系统对AB轴的动量矩守恒

FAy

FAx

A

?

R

?
z
mg
B

vr

J?0 J? ? mR sin ?? ? J?0 ? ? J ? mR 2 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 J?0 mR 2? ? ?? [ J ? mR 2 sin 2 ? ]2
2 2

应用动能定理的积分形式

FBy
FBx
x

y

1 2 1 2 1 2 1 2 T1 ? J?0 ? mvr0 T2 ? J? ? mva 2 2 2 2 2 2 ?) 2 va ? ve ? vr2 ? ( R? sin ? ) 2 ? ( R?
W1?2 ? mg (1 ? cos ? ) T2 ? T1 ? W1?2

FBz

? ? f (? ) ?

9

§2-3、动能定理
FAy
问题:确定小球分别运动到图示 A

FAx
R

三个位置A、C、B时,对应下列
哪个关系式成立?

?
FBy
FBx
x

C

FAx ? FBx ? 0 FAx ? FBx ? 0 FAx ? FBx ? 0

B C A

z
B

y
注:xyz 坐标系固连在转动刚体上
10

FBz

动力学普遍定理的综合应用
动量(矩)定理——建立了质点系的广义坐标、广义速 度和广义加速度与外力间的关系。

dp n (e) (e) ? ? Fi ? FR dt i ?1
( e) mac ? FR

n dLo ? ? M o ( Fi (e) ) dt i ?1 dLrA n ? ? M A ( Fi( e) ) ? rAC ? (? ma A ) dt i ?1

动能定理——建立了质点系的广义坐标、广义速度和 广义加速度与作功的力之间的关系

T2 ? T1 ? ? W1? 2

dT ? ? Fi ? dri ? ? Fi ? v i dt

11

动力学普遍定理的综合应用
例:系统如图所示,已知: m0 , mA ? 3m, mB ? m, R,初始时系
统静止,? = 0 ,求运动时板E、D 的约束力(不计摩擦)。

E
R

vB
B

解:取小球B和物块A为研究对象,

应用动能定理求运动。

m0

?

D

A

vA

g (3? ? sin ? ) 2 ? ? ? 2R g (3 ? cos ? ) ? ? ?? 4R

T1 ? 0 T2 ? T1 ? W1?2 1 1 2 2 ?) 2 T2 ? mAv A ? mB vB ? 2 m ( R? 2 2 W1?2 ? mA gR? ? mB gR sin ?

? 3mgR? ? mgR sin ?
? 2 ? 3 g? ? g sin ? 2 R?
12

动力学普遍定理的综合应用
FE
E

vB
B R

系统对D点的动量矩:

LD ? mAv A 2 R ? mB vBx R sin ? ? mB vBy R(1 ? cos? )
D

?
mg FDy

?(7 ? cos ? ) LD ? mR 2?
利用动量矩定理:

m0 g

FDx
y

vA

3mg

x

dLD FE ? ? M D (F (e) ) dt p ? mAv A ? mB v B 系统的动量:
利用动量定理:

取整个系统为研究对象 应用质点系的动量定理 和动量矩定理求约束力

dpx ? ? Fx( e ) dt

FDx

13

动力学普遍定理的综合应用
FE
E

vB
B R

FE

?
mg FDy

D

m0 g

FDx
y

vA

FDx

?

3mg

x

0?? ??

?

14

动力学普遍定理的综合应用
例:系统如图所示,已知: m1 ? m2 ? m, AB ? 2 L , 初始时滑块A
0 的速度为u, 求此时滑块A的加速度和约束力。设小球D ? ? 30。 位于杆的中点,滑块A视为质点,忽略AB杆的质量和所有摩擦。

u
? m1 g

A

问题:

1、系统有几个自由度?
D

2、共有多少未知量? 3、要求哪些未知量?

m2 g

4、用什么方法求解? B
15

动力学普遍定理的综合应用
u
FA
A 受力分析与运动分析 解:取系统为 研究对象,

? m1 g
m2 g

D

1 1 1 1 2 2 2 2 2 T ? m1v1 ? m2v2 ? m1 y ?y ) ?1 ? m2 ( x ?2 ?2 2 2 2 2 ? sin ? y y1 ? 2 L cos ? ?1 ? ?2 L? ? cos ? x x2 ? L sin ? ? 2 ? L?
? sin ? y y2 ? L cos ? ? 2 ? ? L? 1 1 2 ? T ? m(2 L? sin ? ) ? m( L??) 2 2 2 ?1 ? m2 gy ? 2 )dt ? Fi ? vi dt ? (? m1gy ? sin?d t ? 3mgL?
16

B

dT ? ? Fi ? v i dt

FB

? sin ? )(2 L? ??sin ? ? 2 L? ? 2 cos? ) ? m( L? ?)( L? ??)]d t dT ? [m(2 L?

动力学普遍定理的综合应用
u
FA
A

? m1 g
m2 g

D

??sin ? ? ? ? 2 cos? ) ? L? ?? ? 3g sin ? 4 L sin ? (? u 0 ? ? ?y ? ? 2 L ? sin ? ?1 ? ? 30 ? ? L 2 3g u 3 ? ? ?? ? 4 L 2 L2 2 3 g 3 u ??sin ? ? 2 L? ? 2 cos? ? ? ? y ? ?1 ? ?2 L? 4 2L ? m1a1 ? m2a2 ? FA ? FB ? 2mg
B

FB

x : m2 ? x ?2 ? FA ? cos ? x2 ? L sin ? , x ? 2 ? ? L? ??cos ? ? ? ? 2 sin ? x ? ?2 ? ? L? y : m1 ? y y ?1 ? m2 ? ?2 ? FB ? 2mg
17

动力学普遍定理的综合应用
n dLrC ? ? M C ( Fi( e) ) 方法二 应用相对质心的动量矩定理 dt i ?1 3 1 1 r 2 ? u LC ? mL ? , M C ? FB L sin ? ? FA L cos ?

2

2

2

FA

A

1 2 ?? 3 1 mL ? ? FB L sin ? ? FA L cos ? 2 2 2

? m1 g
m2 g

应用质心运动定理 m1a1 ? m2a2 ? FA ? FB ? 2mg
D

x : m2 ? x ?2 ? FA
y : m1 ? y y ?1 ? m2 ? ?2 ? FB ? 2mg
B

利用下列几何关系,联立求解方程

FB

x2 ? L sin ? , y1 ? 2 y2 ? 2 L cos?

18

动力学普遍定理的综合应用

思考题:若质点系的动量守恒,且对某一点的动量矩 也守恒,则下列哪些答案是正确的,试举例说明。
A:该质点系的质心速度为常矢量

B:该质点系中每个质点速度的大小不变
C:该质点系中每个质点的速度一定为常矢量

D:质点系的动能一定为常量
E:质点系的动能一定不为常量

F:质点系的外力一定不作功

19

本章主要内容
? 动量定理
– 建立外力与系统的位置或广义坐标、广义速度和广义加速度之间的 关系 – 动量定理、质心运动定理、动量守恒定理、变质量质点动力学方程

? 动量矩定理
– 建立外力与系统的位置或广义坐标、广义速度和广义加速度之间的 关系

– 对固定点的动量矩定理、对动点的动量矩定理、对质心的动量矩定 理、动量矩守恒定理。

? 动能定理
– 建立作功的力与系统的位置或广义坐标和广义速度之间的关系 – 动能定理(微分形式和积分形式)、机械能守恒定理 20

思考题

FB

FA

已知:两个均质滑轮质 量均为m,半径为R,两

个物块的质量为2m,绳
索相对滑轮无滑动。求

a

2a

两个物块的加速度和图
示的约束力。

21


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