高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.3抛物线的几何性质(2)*题课件新人教B版选修1_1

发布时间:2021-07-31 06:30:32

2.3 抛物线 抛物线的几何性质(2) [目标导航] 1. 掌握抛物线的性质. 2. 掌握直线与抛物线位置关系的判断. 3. 会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题. 1 课堂对点训练 2 课后提升训练 课堂对点训练 知识点一 直线与抛物线的位置关系 1 . 过点 (2,4) 作直线与抛物线 y2 = 8x 只有一个公共 点,这样的直线有( A.1条 ) B.2条 C.3条 答案:B D.4条 解析:有斜率为0和1的各一条. 2. 抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0的一个交点坐标 为(1,2),则抛物线的焦点到该直线的距离是________. 解析: 点(1,2)在抛物线 y2=2px 和直线 ax+y-4=0 上, 所以 p=2,a=2, 抛物线的焦点为(1,0). |2×1-4| 2 焦点到直线 2x + y - 4 = 0 的距离为 = = 2 5 2 +1 2 5 5 . 2 5 答案: 5 知识点二 直线与抛物线的相交弦问题 3. 抛物线 y2 = 12x 截直线 y = 2x + 1 所得弦长等于 ( ) A. C. 15 15 2 B. 2 15 D. 15 解析:设抛物线与直线交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 ? ?y =12x 由? ? ?y=2x+1 消去 y,得 4x2-8x+1=0. 1 ∴x1+x2=2,∴x1x2=4. 由 弦 长 公 式 |AB| = 1 ?1+2 ?[2 -4×4]= 15. 2 2 ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 答案:A 4. 已知抛物线y2=16x,则通过点(2,1)且在此点被*分 的弦所在直线的方程是________. 解析:设被*分的弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2. 2 因为 A、B 均在抛物线上,所以 y2 1=16x1,y2=16x2, y1-y2 16 16 则 = = =8. x1-x2 y1+y2 2 所以 kAB=8, 由点斜式,得 y-1=8(x-2), 即 8x-y-15=0. 答案:8x-y-15=0 知识点三 直线与抛物线的综合问题 5. 在抛物线 y2 = 4x 上恒有两点关于直线 y = kx + 3 对 称,求k的取值范围. 解:解法一:设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 的方程为 x=-ky+m,代入 y2=4x, 得 y2+4ky-4m=0, 设 B(x1,y1)、C(x2,y2),BC 中点 M(x0,y0), y1+y2 则 y0= 2 =-2k,x0=2k2+m. ∵点 M(x0,y0)在直线 y=kx+3 上, ∴-2k=k(2k2+m)+3. 2k3+2k+3 ∴m=- . k 又∵BC 与抛物线交于不同两点, ∴Δ=16k2+16m>0. k3+2k+3 把 m 代入化简得 <0, k ?k+1??k2-k+3? <0, k 解得-1<k<0. 解法二:设 B(x1,y1)、C(x2,y2),BC 中点 M(x0,y0) 必在曲线内部且 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 由 y1-y2 4 2 2 2 y1=4x1,y2=4x2? = =y , x1-x2 y1+y2 0 2 1 ∴y =-k ?y0=-2k, 0 2k+3 x0=- k . 2k+3 即 BC 中点 M 的坐标为(- k ,-2k)必在曲线 y2= 4x 内部. 2k+3 ∴(-2k) <4(- k ). 2 k3+2k+3 ?k+1??k2-k+3? ∴ <0? <0?-1<k<0. k k

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