第7章实验数据处理

发布时间:2021-09-26 01:24:06

第7章 实验数据处理

学*要点:
? 一元线性回归方法 ? 多项式回归方法 ? 静态标定数据处理方法

第7章 实验数据处理

7.1

概述

通过测试,可得到一系列原始数据。这些数据 是认识事物内在规律,研究事物相互关系和预测事 物发展趋势的重要依据。但这仅仅是第一步工作, 只有在此基础上对已获得的数据进行科学的处理, 才能去粗取精、去伪存真、由表及里,从中提取能 反映事物本质和运动规律的有用信息,这才是测试 工作的最终目的。 本章介绍了实验数据的表示方法及回归分析方 法。

第7章 实验数据处理 7.2 实验数据的表示方法
常用的表述方法有表格法、图解法和方 程法三种。这些表述方法的基本要求是: ①确切地将被测量的变化规律反映出来; ②便于分析和应用。 对于同一组实验数据,应根据处理需 要选用合适的表达方法,有时采用一种方 法,有时要多种方法并用。

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7.2.1 表格法
表格法是把被测量数据精选、定值,按 一定的规律归纳整理后列于一个或几个表格 中,该方法比较简便、有效、数据具体、形 式紧凑、便于对比。常用的是函数式表,一 般按自变量测量值增加或减少为顺序,该表 能同时表示几个变量的变化而不混乱。一个 完整的函数式表格,应包括表的序号、名称、 项目、测量数据和函数推算值,有时还应加 些说明。

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列表时应注意以下几个问题:

? 数据的写法要整齐规范,数值为零时要 记“0”,不可遗漏;试验数据空缺时应 记为“——”; ? 表达力求统一简明。同一竖行的数值、 小数点应上下对齐。当数值过大或过小 时,应以10n表示,n为正、负整数; ? 根据测量精度的要求,表中所有数据有 效数字的位数应取舍适当。

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7.2.2 图解法 图解法是把互相关联的实验数据按 照自变量和因变量的关系在适当的坐标 系中绘制成几何图形,用以表示被测量 的变化规律和相关变量之间的关系。该 方法的最大优点是直观性强,在未知变 量之间解析关系的情况下,易于看出数 据的变化规律和数据中的极值点、转折 点、周期性和变化率等。

第7章 实验数据处理 曲线描绘时应注意如下几个问题: ? ? ? ? 合理布图 正确选择坐标分度 灵活采用特殊坐标形式 正确绘制图形

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7.2.3 实验公式
通过实验获得一系列数据,这些数据不仅 可用图表法表示出函数之间的关系,且可用与 图形相对应的数学公式来描述函数之间的关系, 从而进一步用数学分析的方法来研究这些变量 之间的相关关系。该数学表达式称为经验公式, 又称为回归方程。建立回归方程常用的方法为 回归分析。根据变量个数以及变量之间的关系 不同,所建立的回归方程也不同,有一元线性 回归方程(直线拟合)、一元非线性回归方程 (曲线拟合)、多元线性回归和多元非线性回 归等。

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7.2.4 有效数字及数据修约
实验获得的数据,经数据处理得到最终的结果。在 数据处理过程中,必须注意有效数字的运算,它应 以不影响测量结果的最后一位有效数字为原则,计 量规则中对单一运算、复合运算以及有效位数的增 计都有相应的运算规则。 另外在工作中,往往会遇到多位数的数值,但 实际需要的却是限定的较少位数,这时应对数值进 行修约。数值修约规则有“偶舍奇入”规则和“4舍 5入”规则。两种规则,不同情况下,效果不同,对 二进制来说,“4舍5入”规则往往效果明显。

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7.3 回归分析及其应用

本节将重点讨论回归分析 方法及其在工程测试中的应 用。

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7.3.1 一元线性回归 1.线性相关
所谓相关指变量之间具有某种内在的物理 联系。对于确定性信号来说,两个变量之间可 用函数关系来描述,两者一一对应。而两个随 机变量之间不一定具有这样确定性的关系,可 通过大量统计分析发现它们之间是否存在某种 相互关系或内在的物理联系。

y ? f ?x ?

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2. 线性回归方程的确定 若所获取的一组 xi 、 yi 数据可用线性回归方
程来描述,确定回归方程的方法较多,常用“端 点连线法”、“*均法”、“最小二乘法”和 “绝对差法”。设两变量之间关系为 y ? f ?x ? , 并有一系列测量数据 ?xi , yi ??i ? 1, ?, n? ,若上列数 据相互间基本上是线性关系,则可用一系列方程

y ? b ? kx 来表示,即 (7-1) 此直线方程就称为上述测量数据的拟合方程。 所谓直线拟合,实际上就是根据一系列测量数据 通过数学处理确定相应的直线方程,更确切地说
是要求得直线方程中的两个常量 b 和 k



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拟合方法通常有以下几种: ? ? ? ? 端点连线法 *均法 最小二乘法 绝对差法

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1) 端点连线法
将上述测量数据中的两个端点值,即起点和终点 测量值 ?x1 , y1 ?和 ?x n , y n代入式( 7-1 )求常数和, ? 也就是用两个端点连成的直线来代表所有的测量 数据,代入后得
y1 ? b ? kx1 yn ? b ? kxn yn ? y1 k? xn ? x1
b ? yn ? a1x

解以上联立方程得
(7-2) (7-3)

将所求得的 b 和 k 代入式( 7-1 ),即得到端值 法拟合的线性方程。

K 前 ? ?n ? 1? 2

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2)*均法
将全部测量数据分别代入 y ? b ? kx 中,得
y1 ? b ? kx1
y2 ? b ? kx2

??

yn ? b ? kxn

然后将上面 n 个方程分为两组,前半组 K 个和后 半 组 K 个 [n 为 偶 数 时 , K=n/2 ; n 为 奇 数 K 后 ? ?n ? 1? 2 ],分别相加后得 时,K 前 ? ?n ? 1? 2 ,

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?y
i ?1 k前 i

? K前b ? k ? xi
i ?1 n

k前

i ? k前 ?1

?

n

yi ? K后b ? k

i ? k前 ?1

?

xi
(7-4)

则有
式中
y k前 ?

?y
i ?1

k前

y k前 ? b ? k x k前 ? ? ? y k后 ? b ? k x k后 ? ?
i

K前

x k前 ?

?x
i ?1

k前

i

K前

y k后 ?

i ? k 前 ?1

?y
K后

n

i

x k后 ?

i ? k前 ?1

?x
K后

n

i

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对式(7-4)联立求解得
k? y k后 ? y k前 x k后 ? x k 前
(7-5)

b ? y k1 ? a1 xk1

(7-6)

将式(7-5)和式(7-6)代入式(7-1)即得用 *均法拟合的线性方程。 从以上计算可以看出,*均法就是将全部测 量数据分为前后两组,分别计算各组的*均值, 所得 ?y k , xk前 ? 和 ?y k , x k ? 称为各组测量点的“点系中 心”,这两个点系中心连成的直线方程,即为用 *均法拟合的线性方程。

后 后

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3)最小二乘法
最小二乘法是数据处理和误差分析中有力的 数学工具,是数据处理中异常活跃和应用最广泛 的方法之一。 假设有一组实测数据,含有N对xi 、yi值, 用回归方程来描述,即 ? ? kx ? b (7-7) y 由 上 式 可 计 算 出 与 自 变 量 xi 对 应 的 回 归 ? i ,即 值 y
? i ? kxi ? b y
(i=1,2,?,N)

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由于数据的误差和公式的*似性,回归值 与对应测量值 yi 间会有一定的偏差,偏差计算 公式为
?i vi ? y i ? y
(7-8)

通常该差值称为残差,表征了测量值与回 归值的偏离程度。残差越小,测量值与回归值 越接*。根据最小二乘法理论,若残差的*方 和为最小,即

?v
i ?1

N

2 i

? ? ( yi ? kxi ? b) 2 ? min
i ?1

N

(7-9)

则意味着回归值的*均偏差程度最小,回归直 线为最能代表测量数据内在关系的曲线。

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根据求极值的原理应有
? ? vi2
i ?1 N

? ? vi2
i ?1

N

?k

? ?2? ( y i ? kxi ? b) xi ? 0
i ?1

N

?b

? ?2? ( yi ? kxi ? b) ? 0
i ?1

N

(7-10)

解此方程组。设
Lxy ?

? (x
i ?1
N

N

i

? x )( yi ? y )

(7-11)
(7-12) (7-13) (7-14)

1 y? N
Lxx ?
i ?1

?y
i ?1
i

N

i

?(x

? x)2

1 x? N

?x
i ?1

N

i

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则得
k? Lxy Lxx
(7-15) (7-16)

b ? y ? kx

求出k和b后代入式(7-7),即可得到回归方程。 将式(7-16)代入回归方程式(7-7),可得回归方 程的另一种形式为
??y y k? x?x
? ? y ? k(x ? x) y

(7-17)

x

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4)绝对差法
绝对差法求回归方程,首先是求出数据的“重心”, 可 用 式 ( 5-6 ) 、 式 ( 5-8 ) 计 算 重 心 的 坐 标 ? ? kx ? b ,由下式可计算 ( x , y )。回归方程为 y 出斜率k和截距b
k?

?y ?x
i ?1 i ?1 N

N

i

?y
(7-18)

i

?x

b ? y ? kx

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3. 回归效果的检验
如果x与y之间不存在线性相关关系,利用最小 ? i ? kxi ? b ,这 二乘法仍可以求得 x 与 y 的拟合方程 y 样求得的方程显然没有任何意义,因此需要对拟合 方程的可信度或拟合效果进行检验,常用的方法是 相关系数检验法。相关系数
? xy ?
E[( x ? ? x )( y ? ? y )]

? x? y

若 ρ xy=±1 ,这种情况为完全相关(线性相关)一 般情况下,如直线为正斜率,则 0≤ρ xy≤1 表示 x 和 y为正相关;如直线为负斜率,则有-1≤ρ xy≤0 ,

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这表示x和y为负相关;如ρ xy=0,则表示x和y不 相关,两根回归线分别*行于x轴和y轴。可见相 关系数表示x和y的相关程度。显然,相关系数越 接*1,x与y的线性相关程度越高。

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4. 回归方程的精度问题
用回归方程根据自变量 x的值,求因变量 y的 值,其精度如何,即测量数据中yi和回归值 y ? i的 差异可能有多大,一般用回归方程的剩余标准偏 差 ?γ 来表征,
?γ ?
Q ? N ?q ?i ) ? ( yi ? y
i ?1 N 2

N ?q

?

2 v ?i i ?1

N

(7-19)

N ?q

式中, N 为测量次数,或成对测量数据的对数 ,q 为回归方程中待定常数的个数。? γ 越小表示回归 方程对测试数据拟合越好。

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例 3-1 :对量程为 10MPa 的压力传感器,用活塞式 压力*行W迹涑鲇墒值缪贡矶潦步 行五次加压、卸压循环,所得各校准点输出值及 *均值列于表7-1 中。试用端点连线法、*均法、 最小二乘法拟合线性方程 y ? b ? kx 并比较各种拟 合方法的拟合精度。

解:(1)端点连线法拟合线性方程
线性方程 y ? b ? kx中,x代表校准压力,y 代表输出值。 根据以上校准数据,其端点值为 y1 ? 10.43 x1 ? 2
x n ? 10
y n ? 50.072

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将以上数据代入式(3-19)和式(3-20)得 50.072 ? 10.043 k? ? 5.0036 10 ? 2

b ? 50.072 ? 5.0036 ?10 ? 0.036
得拟合的线性方程为

y ? 0.036 ? 5.004x

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表7-1 校准数据表
2 压力(MPa) 输出(mv) 校 准 数 据 1 正行程 10.01 20.06 30.14 40.09 50.01 4 6 8 10

反行程

10.05

20.10

30.15

40.09

2

正行程 反行程

10.01 10.06

20.04 20.12

30.09 30.16

40.08 40.14

50.04

3

正行程 反行程

10.02 10.06

20.05 20.14

30.11 30.19

40.12 40.15

50.06

4

正行程 反行程

10.02 10.09

20.06 20.14

30.12 30.21

40.11 40.14

50.11

5

正行程 反行程

10.02 10.09

20.06 20.16

30.14 30.22

40.14 40.22

50.14

正行程*均值

10.016

20.054

30.120

40.108

50.072

反行程*均值

10.070

20.132

30.186

40.148

总*均值

10.043

20.093

30.153

40.128

50.072

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(2)最小二乘法拟合线性方程
因计算公式中有 x i 和 yi 乘积之和及*方之和,先将其计 算出来,并列于表7-2中。 2 x ? xi yi的数据代入式(7-9)和 将表7-2中 ? xi、 i ? 、? yi 、 式(7-10)中得
150.489 ? 220 ? 1103.12 ? 30 b? ? 0.0699 2 5 ? 220 ? 30
5 ?1103.12 ? 30 ?150.489 k? ? 5.005 2 5 ? 220 ? 30

得拟合的线性方程为
y ? 0.070 ? 5.005x

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?
30
校准压力xi 2

表7-2 计算结果表
4 6 8 10

?
30
150.489 220 1103.120

输出*均值yi xi2 xiyi 端 值 法 拟合方程 理想值yi’

10.043 4 20.086

20.093 16 80.372

30.153 36 180.918

40.128 64 321.024 y=0.036+5.004x

50.072 100 500.720

10.044

20.052

30.060

40.068

50.076

残差yi-yi’

-0.001

+0.041

+0.093

+0.060

-0.004

* 均 法

拟合方程 理想值yi’ 10.095 20.097 30.099

y=0.093+5.001x 40.101 50.103

残差yi-yi’

-0.052

-0.004

+0.054

+0.027

-0.031

最 小 二 乘 法

拟合方程

y=0.070+5.005x

理想值yi’

10.080

20.090

30.100

40.110

50.120

残差yi-yi’

-0.037

+0.003

+0.053

+0.018

-0.048

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比较上述三种拟合方法的拟合精度(用拟合方程的标准偏 差来表示),根据式7-11贝塞尔公式
??

?

vi2

n?m

式中 vi ? yi ? yi' , n ? 5, m ? 2。将表7-2中的数据代入上式得 (1)端值法 (2)*均法 (3)最小二乘法
?1 ?
0.013947 ? 0.068 5?2
0.007326 ? 0.049 5?2
0.006815 ? 0.048 5?2

?2 ?

?3 ?

由以上计算可知,用最小二乘法拟合的线性方程误差最小, *均法次之,端值法最差。

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7.3.2 多元线性回归
设因变量 y 依赖若干个变量 xj(j=1 、 2 、?、 m) 变化而变化,按照间接测量的原理,对上述变量进 行测量,可获得 {x1 、 x2 、 …xm 、 y} 数据对,此时 回归方程可表示为
? ? k 0 ? k1 x1 ? k 2 x2 ? ? ? k m x m y

(7-20)

yi在某点上与上述回归方程差值为
? ? yi ? (k 0 ? k1 x1i ? k 2 x2i ? ? ? k m xmi )(7-21) ?yi ? yi ? y

利用最小二乘原理,可求出系数k0、k1、k2、?、 km,即有
?(

?

?y i2 )

?k 0

?

?(

?

?y i2 )

?k1

???

?(

?

?y i2 )

?k m

?0

(7-22)

第7章 实验数据处理
得到正规方程组
? ? ? ? ? ? ? ?

?x ?x ?

n

1i 2i

?x ?x x ?x x
1i

1i 1i 2i 1i

?x ?x x ?x x
2i 1i 2i

? ? ? ? ?

2i 2i

?x ?x x ?x x ?

? x mi

?

? x mi x1i

?

? x mi x 2i

? ? k0 ? ? ?? ? ? 1i mi ? ? k1 ? ? ? ?k ? ? ? 2i mi ?? 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? k x mi x mi ? m ? ? ? ?
mi

?y ?y x ?y x
i

?

? ? i 1i ? ? i 2i ( ? ? ? y i x mi ? ?

7-23 )

由上式可解出回归系数 k 0、k1、k2、?、km ,为 n 简便起见,用 ? yi代替 ? y i ,其余与之类似。
i ?1

? ?

n ? n k j ? y i x ji ? ( x ji j ?1 i ?1 ? i ?1 m

? ?
i ?1

n

? y i ) n? ? S ?

( 7-24 )

第7章 实验数据处理

?
i ?1

n

yi2 ? (

?
i ?1

n

yi ) 2 n ? L

(7-25) (7-26) (7-27)

相关系数 标准差

式中,m为自变量个数,n为测量次数。 对于常用的二元回归方程有
y ? k 0 ? k1 x1 ? k 2 x 2

L?S ?? n ? m ?1

S ? ? L
2

(7-28)



? ? ? ? ?

?x ?x

n

1i 2i

?x ?x ?x ?x x ?x x ?x
1i 2 1i 2i 1i

? ?k 0 ? ? ?? ? ? 1i 2i ? ? k1 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2i ? ?k 2 ? ?
2i

?y ?y x ?y x
i i i

? ? 1i ? ? 2i ?

(7-29)

第7章 实验数据处理
从上式可解出回归系数k0、k1、k2,令
L?
S ? k1[

?

y i2

?

?? y ?
i
i 2i

2

n
i 2i

( 7-30 )
n] ( 7-31 )

? y ?x ? ? y ?x
i 1i i

1i

n] ? k 2 [

? y ?x ? ? y ?x

同样有

? ?S L
2

(7-32) ( 7-33 )

(L ? S ) ?? (n ? 3)

第7章 实验数据处理
7.3.3 非线性回归
在测试过程中,被测量之间并非都是线性关 系,很多情况下,它们遵循一定的非线性关系。 求解非线性模型的方法通常有: ①利用变量变换把非线性模型转化为线性模型。 ②利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正 规方程,然后求解。 ③采用直接最优化方法,以残差*方和为目标函 数,寻找最优化回归函数。 本节重点介绍第①种方法。

第7章 实验数据处理
1. 模型转换
一些常用非线性模型,可用变量变换的方法使 其转化为线性模型,如指数函数 两边取对数得 ln A ? C ,则方程可化为 令ln y ? t ,
t ? Bx ? C
(7-35) (7-36)

y ? Ae Bx ln y ? ln A ? Bx

(7-34)

对幂函数 同样有

y ? Ax B
ln y ? ln A ? B ln x



t1 ? ln y ,t 2 ? ln x, C ? ln A

则有 t1 ? Bt2 ? C

(7-37)

即可转化为线性关系,实际应用时可根据具体情况 确定变量变换方法。

第7章 实验数据处理
2. 非线性回归分析简介
并不是所有非线性模型都能用上述方法进行转化。 如当 y ? b0 ?x C ? a?,就无法用上述办法来处理。这一类问 题,可采用多项式回归方法来解决。对于若干测量数 据对( xi , yi ),经绘图发现其间存在着非线性关系 时,可用含m+1个待定系数的m阶多项式来* 2 m yi ? k 0 ? k1 xi ? k 2 xi ? ? ? k m xi 即 (7-38) xmi ? xim 即 x2i ? xi2 ? 将上式作如下变量置换令x1i ? xi 、 可将上式转化为形如式(7-20)的多元线性回归模型, 同样可列出正规方程组,求解方法同上。

第7章 实验数据处理
7.3.4 回归分析应用举例
例7-1 已知x及y 为*似直线关系的一组数据列于下 表7-3。
表7-3 x、y关系表
x 1 3 8 10 13 15 17 20

y

3.0

4.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

试用最小二乘法建立此直线的回归方程。 解:①列一元回归计算表7-4

第7章 实验数据处理
表7-4 一元回归计算表
序号 xi 1 yi 3.0 xi2 1 yi2 9 xi yi 3.0

1

2

3

4.0

9

16

12.0

3

8

6.0

64

36

48.0

4

10

7.0

100

49

70.0

5

13

8.0

169

64

104.0

6

15

9.0

225

81

135.0

7

17

10.0

289

100

170.0

8

20

11.0

400

121

220.0



87

58.0

1257

476

762.0

第7章 实验数据处理
②由表中数据可知:

?x
(

i

? 87

?

yi ? 58

?

xi2 ? 1257

?

yi2 ? 476

87 x? ? 10.875 8

?

xi ) n ? 946.125 (
2

?
i

58 y? ? 7.25 8

?n ? 8?

yi2 ) n ? 420.5 (? xi )(? yi ) n ? 630.75

③ Lxx ?
Lxy

? ? ? ? x y ? (? x )(? y ) n ? 762 ? 630.75 ? 131.25
xi2 ? (
i i

xi ) 2 n ? 1257 ? 946.125 ? 310.875
i

131.25 ? 0.422 Lxx 310.875 b ? y ? kx ? 7.25 ? 0.422 ? 10.875 ? 2.66 k? ?

Lxy

第7章 实验数据处理
④故可得回归方程为

? ? 0.422x ? 2.66 y
例7-2 一位移测量系统,经大量试验表明,其系统 输出 y 与被测位移量变化及环境温度的变化线性相 关,某次试验数据如表7-5所示。
表7-5 试验数据表
x1/mm 10 20 30 10 15 25 20 30 30 25 15 20

x2/℃

11

15

16

20

26

30

25

29

12

14

12

30

y/mV

36

68

98

37

69

92

71

102

96

82

54

76

试用多元线性回归法,建立系统输出与位移及温度 的经验公式。

第7章 实验数据处理
解:按题意,可设位移测量系统输出与位移及温 度的回归方程为 y=k0+k1x1+k2x2 由多元线性回归法可得下式:
? 12 250 240 ? ?k 0 ? ? 881 ? ?250 5800 5090? ? k ? ? ?20105? ? ? ? 1? ? ? ? ?240 5090 5428? ?? ?k 2 ? ? ? ?18239? ?



由此求得 k1 ? 2.8718 k 2 ? 0.5741 k0 ? 2.1049 得回归方程为 y ? 2.1049 ? 2.8718x1 ? 0.5741x2 以及 L ? 70195 ? 8812 12 ? 5515

?

y 2 ? 70195

第7章 实验数据处理
S ? 2.8718?20105 ? 881? 250 / 12? ? 0.5741?18239 ? 881? 240 / 12? ? 5383.4

? ? 0.988

? ? 3.824

3? ? 11.47

即为线性方程 ?? ? 0.988?,用该回归方程进行预报。 *题 7-1 下表列出了用电涡流测振仪测量物体振动时的 静标数据,表中x为位移,u为电表输出读数。
表7-6 数据表
Xmm 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0

Umv

2.02

2.47

3.02

3.60

4.23

4.87

5.52

6.16

6.78

7.37

7.93

2.45

8.93

9.36

9.75

1010

根据上表数据试确定传感器的最佳安装位置及其线 性测量范围。

第7章 实验数据处理
7-2求表7-7中y与x的关系。
表7-7 数据表
x y 42.9 16.7 50.0 17.0 49.3 16.8 49.0 16.6 49.0 16.7 49.5 16.8 49.8 16.9 49.9 17.0 50.2 17.0 50.2 17.1

7-3若表7-8中的数据可用y=axb表示,试求a和b。
x y 1.585 0.03162 2.512 0.02291 3.979 0.02089 6.310 0.01950 9.988 0.01862 15.85 0.01513

7-4 炼焦炉的焦化时间 y 与炉宽 x1 及烟管道相对温 度 x2 的 数 据 如 表 7-9 所 示 。 求 回 归 方 程 y=b0+b1x1+b2x2 ,检验显著性,并讨论 x1 和 x2对 y 的影响。

第7章 实验数据处理
表7-9 炼焦炉的测量数据
y1/min 6.40 15.5 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42

x1/m

1.32

2.69

3.56

4.41

5.35

6.20

7.12

8.87

9.80

10.65

x2/oC

1.15

3.40

4.10

8.75

14.82

15.15

15.32

18.18

35.19

40.40


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